向量平行的公式为：ab≠0，则向量a与向量b平行时，存在一个实数λ，使得向量b=λ向量a^[1]^。

其推导过程为：设有两个向量α=(x,y)与β=(m,n)，由于向量是任意的，根据平面向量平行四边形的判定原则，当且仅当存在实数λ，使得β=λα时，向量α与β之间才平行。即(m,n)=λ(x,y)，可得m=λx或m=0，n=\lambda y或n=0，也就是说当且仅当m、n分别与x、y平行，或者等于零平行时，向量α与β才平行^[2]^。

向量的平行关系可以通过以下公式来判定：

1. 平行四边形法则：两个向量的大小和方向相同，则它们可以画成一个平行四边形，该平行四边形的对角线长度相等且方向相同。

2. 共线向量定理：有且仅有且平行（共线）的两个向量是零向量和任意一个非零向量。这意味着，如果两个向量平行，那么其中一个可以是另一个的零倍，或两者可以相互转换。

3. 平行向量公式：两个向量平行，当且仅当它们的模长相等且方向相同或相反。具体来说，如果两个向量a和b平行，那么存在实数λ，使得b = λa。这意味着两个向量的比是常数，且它们的模长相等。

以上信息仅供参考，如需了解更多，请查阅数学书籍或咨询专业人士。

向量平行的公式变化是：两个向量平行，则数量积为零。这是向量平行的坐标表示，在三维向量中，如果两个向量平行，那么它们的坐标对应相等。具体来说，对于两个向量$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$和$\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$，如果它们平行，那么它们的坐标对应相等且$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$。

此外，如果一个向量与另一个向量的向量式表示为$\mathbf{a} = (x, y)$或$\mathbf{b} = (x, y)$，那么它们的数量积表示为$ax + by = c$。如果这个等式成立，那么这两个向量平行。

需要注意的是，向量平行的公式在不同的坐标系下可能会有所不同，因此在使用时需要选择合适的坐标系。